本文由銅陵市工業(yè)學(xué)校的蘇文忠老師供稿

我們經(jīng)常會(huì)看到鏤空裝飾球體的模型，在用三維軟件建模時(shí)，曲面模型的控制不太容易，往往會(huì)使球表面圖案變形，出現(xiàn)中間正常，兩端變小等現(xiàn)象。如何使球表面圖案的大小等大呢？根據(jù)歐拉定律,簡(jiǎn)單正多面體只有五種: 正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體和正二十面體，今天我們以這五個(gè)正多面體分別來(lái)探討下其中的規(guī)律。

先看效果圖（圖案可以自己任意編排）

我們知道正立面體的各角點(diǎn)正好外接球體，并且正多面體各個(gè)面全等，看下圖

通過(guò)上面正立面體與球體的圖示，我們只要知道正立面體棱長(zhǎng)與球體半徑的關(guān)系后，在正立面體各個(gè)面上繪制相應(yīng)圖案后，利用3DOne軟件的投影曲線和曲面分割命令，將各個(gè)面上繪制的圖案投影到球體上，將不需要的面刪除，最后再利用抽殼命令即可生成立體等大圖案的模型。

因?yàn)檎⒚骟w和球體都是我們必須要的，正立面體的各個(gè)面便于我們繪制圖案，而球體是作為投影曲線用的，問(wèn)題的重點(diǎn)是棱長(zhǎng)已知，球體的半徑如何求？我們可以運(yùn)用數(shù)學(xué)的知識(shí)的求解，但是在3DOne軟件中，這個(gè)問(wèn)題很好解決，看下面所作輔助線。

正四面體，藍(lán)線與黃線交點(diǎn)為球心，藍(lán)線上半部分為半徑，紅線為棱長(zhǎng)

正六面體，綠線為球體直徑

  正八面體，黃線為球體直徑

 

一、以正四面體為例看如何制作等大圖案的球體鏤空效果：

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1.看上圖正四面體的輔助線，在3DOne中繪圖，先繪制邊長(zhǎng)為100（此為紅線棱長(zhǎng)長(zhǎng)度）的正三角形，作出高線，高線即為上圖中綠線的長(zhǎng)度（利用3DOne距離測(cè)量工具測(cè)得長(zhǎng)度為86.60254，如下圖：

2.在旁邊繼續(xù)畫(huà)一水平線長(zhǎng)度為86.60254，以直線兩端點(diǎn)分別畫(huà)半徑100和半徑86.60254兩個(gè)圓，如圖

3.連接線段，并作出兩條高線，刪除兩輔助圓，如圖

4.分別測(cè)得垂直高線的兩段長(zhǎng)為61.2372（此為球半徑）和20.41241

5.刪除所有輔助線（為避免干攏后期作圖），畫(huà)100長(zhǎng)直線，分別以兩端點(diǎn)畫(huà)半徑為100的圓，連接線段，如圖

6.作兩高線，刪除輔助圓，將草圖兩高線交點(diǎn)處移至（0，0）點(diǎn)，如圖

7.沿輔助線再描一邊長(zhǎng)100的三角形并下移20.41241，如圖

8.水平畫(huà)一長(zhǎng)61.11056長(zhǎng)的線段，旋轉(zhuǎn)90度，移動(dòng)使下端點(diǎn)位于（0，0）處，如圖

9.沿輔助圖形中一高線畫(huà)一直線（可畫(huà)長(zhǎng)點(diǎn)以便于選擇）并向上拉伸一平面，如圖

10.以此面為基準(zhǔn)面畫(huà)直線連接兩線段端點(diǎn)，如圖：

11.刪除輔助線和面，環(huán)形陣列剛畫(huà)的線，方向（0，0，1）數(shù)量3個(gè)，如圖

12.分別執(zhí)行放樣命令（注意連續(xù)方式選擇無(wú)，如連續(xù)方式為灰色不可選則默認(rèn)）四次即可求得正四面體形狀，且重心位于（0，0），（若底面不能放樣，則將底部三角形草圖刪除，以邊形式放樣即可）如圖：

13.分別以兩個(gè)面為基準(zhǔn)面繪制圖案，此例以畫(huà)一弧為例說(shuō)明，如圖

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環(huán)形陣列，中心點(diǎn)(0,0,1)，數(shù)量3個(gè)，如圖

14.刪除四個(gè)輔助面，并以（0，0）為球心作半徑61.2372的球，將渲染模式設(shè)為線框模式（或者按CTRL+F）,如圖

15.使用投影曲線命令將草圖投影 球表面，并使用曲面分割命令對(duì)球表面進(jìn)行分割，如圖

16.刪除不需要的面，使用抽殼命令給模型增加厚度，如圖

觀察一下，是不是每個(gè)形狀都是一樣大呢。

 

同理，正立面體做法如下：

1.以（0，0）畫(huà)長(zhǎng)寬高分另為100的正方體，使用距離測(cè)量工具測(cè)得正方體兩對(duì)角點(diǎn)距離為173.2051,此為球體直徑長(zhǎng)度，如圖

2.分別在六個(gè)面上繪制圖案如圖

3.刪除六面體，以（0，50）為球心作半徑為86.60255為球體，后面的步驟同正四面體，最終效果如圖

正八面體做法如下

1.畫(huà)邊長(zhǎng)100的正方形，并將中心移至（0，0）退出草圖模式，如圖

2.連接對(duì)角線(對(duì)角線一半長(zhǎng)度70.71068即為球半徑)，刪除正方形，向上拉伸對(duì)角線高度100，并以此拉伸面為基準(zhǔn)面分別在剛才對(duì)角線兩端點(diǎn)畫(huà)半徑100的圓，如圖

3.連接線段并刪除輔助圓，退出草圖模式，刪除基準(zhǔn)面，如圖

4.環(huán)形陣列，方向(0,0,1),數(shù)量4個(gè)，如圖

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5.  再次環(huán)形陣型列，方向（1，0，0），數(shù)量2個(gè)，如圖

6.放樣，后面步驟同正四面體，最終效果如下：

正十二面體的做法復(fù)雜些（其中涉及數(shù)學(xué)知識(shí)我們不深入討論了）

1.先以（0，0）為圓心畫(huà)正五邊形，半徑為50，再畫(huà)另外兩個(gè)半徑50的五邊形，旋轉(zhuǎn)36度并移動(dòng)至合適位置，如圖

2.分別以兩個(gè)五邊形角點(diǎn)向另一五邊形的邊作垂線，如圖

3.測(cè)得垂線長(zhǎng)度55.9017，修剪，如圖

4.  拉伸所繪線高度100，以此拉伸面為基準(zhǔn)面，以垂足點(diǎn)為圓心畫(huà)半徑55.9017的圓，以交點(diǎn)為起點(diǎn)向上畫(huà)一直線，如圖

5.修剪線段冒頭部分，刪除圓和拉伸面，如圖

6.在平面上畫(huà)一線段，如圖

7.放樣，并以此放樣面為基準(zhǔn)面畫(huà)一斜線（紅線位置），測(cè)得斜線長(zhǎng)度58.77853，此為五邊形邊長(zhǎng)的長(zhǎng)度，如圖

8.刪除基準(zhǔn)面，環(huán)形陣列斜線2個(gè)，角度為-72度，方向（0，0，1）如圖

9.放樣兩根線作為基準(zhǔn)面，以此基準(zhǔn)面上兩個(gè)端點(diǎn)畫(huà)兩個(gè)半徑為58.77853的圓，如圖

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10.連五條線構(gòu)成五邊形，刪除輔助圓和基準(zhǔn)面，如圖

11.分別將兩五邊形向上向內(nèi)拉伸若干，然后刪除多余面，如圖

12.將斜平面環(huán)形陣型列五個(gè)，方向（0，0，1）角度360，如圖

13.再次將六個(gè)物體環(huán)形陣列，方向（1，0，0），數(shù)量2個(gè)，如圖

14.將陣列的六個(gè)上移，然后旋轉(zhuǎn)36度，再移至合適位置即可構(gòu)成正十二面體，如圖

15.接下來(lái)我們找球心及球半徑，按CTRL+F轉(zhuǎn)線框模式，在最下方的五邊形內(nèi)畫(huà)一條線，如圖

16.將此線向上拉伸高于整個(gè)多面體，并以此拉伸面作為基準(zhǔn)面畫(huà)線連接圖上左右兩個(gè)頂點(diǎn)，此線即為球體直徑長(zhǎng)度，測(cè)得直徑一半長(zhǎng)度為82.36391，中心即為球心，如圖

17.選擇所有物體，移動(dòng)，以直線中心為起始點(diǎn)，目標(biāo)點(diǎn)為（0，0），刪除直線和輔助面，如圖

18.其他步驟同上，效果如下

最后我們來(lái)看正二十面體是如何制作出來(lái)的

1.以（0，0）為圓心畫(huà)半徑50的正五邊形，距離測(cè)量邊長(zhǎng)為58.77853，作輔助線，如圖

2.先隱藏五邊形，向上拉伸直線，以拉伸的面為基準(zhǔn)面畫(huà)半徑為58.77853的圓和從（0，0）點(diǎn)向上畫(huà)一直線，如圖

3.修剪直線，并刪除圓，如圖

4.將隱藏物體顯示，放樣，放樣類型為起點(diǎn)到輪廓，連續(xù)方式為無(wú)，如圖

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5.刪除底部平面，再以剛拉伸面為基準(zhǔn)面，作輔助線，如圖

6.將斜線繞自身中心旋轉(zhuǎn)90度，并使用修剪、延伸曲線命令，然后再利用修剪命令修剪多余線段，如圖

7.刪除斜線，垂線即為球的半徑，測(cè)得長(zhǎng)度為55.90119，將拉伸面繞X軸旋轉(zhuǎn)90度，并移至垂線下端點(diǎn)對(duì)齊，將五面體以拉伸面為鏡像平面鏡像到下面，如圖

8.將上面五面體繞Z軸旋轉(zhuǎn)36度，并移動(dòng)它使頂點(diǎn)與垂線頂點(diǎn)對(duì)齊，選擇所有物體，移動(dòng)使垂線下端點(diǎn)作為起始點(diǎn)，目標(biāo)點(diǎn)為（0，0），刪除拉伸面，如圖

9.拉伸垂線，方向(1,0,0),如圖

10.以此拉伸面為基準(zhǔn)面，作輔助線，刪除輔助面，如圖

11.  拉伸輔助線，方向?yàn)樯衔迕骟w的邊，如圖

12.以此拉伸面為基準(zhǔn)面分兩次畫(huà)兩線段，如圖

13.將拉伸面環(huán)形陣列，方向（0，0，1），數(shù)量2個(gè)，角度-72度，并以此拉伸面為基準(zhǔn)面畫(huà)一條線段，如圖

14.刪除兩基準(zhǔn)面，分別放樣出兩個(gè)平面，注意放樣連續(xù)方式為無(wú)或默認(rèn)不可選，如出現(xiàn)面反向（粉紅色表示）不影響，如圖

15.環(huán)形陣列兩個(gè)放樣面，方向（0，0，1）數(shù)量5個(gè)，角度360，如圖

16.  其他步驟同上，效果如下

無(wú)論是利用正四面體還是正十二面體制作等大圖案的球形鏤空，原理都是一樣的。在建模過(guò)程中，動(dòng)用數(shù)學(xué)的思維除了能夠幫助理解，還能起到事半功倍的效果。

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